수학적 모형(mathematical model)의 의의

아래 내용은 <스튜어드 미적분학 9E판>에서 발췌 및 참고하여 작성했습니다. 

 

수학적 모형(mathematical model)은 실제 현상을 함수 또는 방정식으로 나타내는 수학적 표현입니다. 수학적 모형의 목적은 현상을 이해하고 미래를 예측하는 것입니다. 

 

현상(실제 문제)에 대한 수학적 모형화 과정은 아래와 같습니다. 

(1) 첫 번째 작업은 독립변수(indepent variable)와 종속변수(dependent variable)를 확인해서 이름을 붙이고, 수학적으로 다루기 쉽게 하기 위해 현상을 단순화시키는 가정을 만들어 수학적 모형을 공식화하는 것입니다. 물리적 현상과 수학적 기술에 대한 지식을 이용해서 변수를 관련 짓는 방정식을 세웁니다. 참고할 만한 물리법칙이 없는 상황에서는 일정한 규칙을 알아내기 위해 표의 형태로 자료를 인터넷이나 도서관 또는 자신의 경험에 의해 수집 및 조사할 수도 있습니다. 함수에 대한 수리적 표현으로부터 자료를 점으로 그려서 그래프와 같은 표현을 얻을 수도 잇습니다. 어떤 경우에는 그래프로부터 적절한 대수적 공식을 추정할 수도 있습니다. 

 

(2) 두번째 단계는 앞에서 공식화한 수학적 모형에 알고 있는 수학을 적용해서 수학적 결론을 유도하는 것입니다. 

 

(3) 세번째 단계에서는 수학적 결론을 택해서 현상을 설명하거나 미래를 예측함으로써 원래의 실제 현상에 대한 정보를 받아들입니다.

 

(4) 마지막 네번째 단계에서는 새로운 실제 자료를 통해 예측을 검증하는 것입니다. 예측이 실제와 잘 맞지 않으면 모형을 다듬거나 새로운 모형을 만들어 또다시 이 과정을 반복합니다.

 

수학적 모형은 결코 물리적 현상에 대한 완벽하고 정확한 표현이 아닙니다. 단지, 그것은 이상화입니다. 좋은 모형은 수학적 계산이 가능하도록 실제를 단순화하지만 가치있는 결론을 유도할 만큼 정확합니다. 모형의 한계를 깨닫는 것이 중요합니다. 

 

함수를 표현하는 방법에는 네 가지가 있습니다. 

(1) 언어(말)로 설명

(2) 수로(표)로 표현

(3) 시각적(그래프)으로 표현

(4) 대수적(명확한 식)으로 표현 

 

아래는 함수의 시각적(그래프) 표현을 보입니다. 

 

 

 

 

 

(참고) 이산 최적화 문제와 연속 최적화 문제 

from <제대로 배우는 수학적 최적화 : 최적화 모델링부터 알고리즘까지 / 유메타니 슌지 지음>