[책 리뷰] 미적분의 힘 / 스티븐 스트로가츠 지음 / 해나무

미적분의 힘 / 스티븐 스트로가츠 지음 / 해나무

수학이 얼마나 매력적이고 재미있는 학문인지, 그리고 얼마나 실용적인지 느끼고 있는 요즘입니다. 흥미로운 일화로 책이 시작됩니다.

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<맨해튼 계획에 대해 대화를 나누던 도중에 물리학자 리처드 파인먼이 소설가 허먼 워크에게 던진 재미있는 이야기가 있다. 제 2차 세계 대전을 소재로 대작을 쓰려고 조사 작업을 하던 워크는 원자폭탄 개발에 참여한 물리학자들을 면담하려고 캘리포티아 공과대학교를 찾아갔다. 그때 만난 사람 중 한 명이 파인먼이었다. 면담이 끝나고 헤어질 무렵에 파인먼은 워크에게 미적분학을 아냐고 물었다. 워크는 모른다고 대답했다. 그러자 파인만은 말했다. "배워두는 게 좋을 겁니다. 신이 사용하는 언어니까요.">

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리처드 파이먼이 말한대로 신이 사용하는 언어인 미적분을 공부해봐야겠습니다. 챕터 별로 다시 한번 정독하는 것부터 시작하려 합니다.

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(1) 미적분학은 어려운 문제를 단순하게 만들려고 한다. 미적분학은 단순성에 과도하게 집착한다.... 미적분학이 복잡해 보이는 이유는 복잡한 문제들을 다루기 때문이다. 사실, 미적분학은 지금까지 인류가 맞닥뜨렸던 가장 어렵고 중요한 문제들을 풀어왔다. 미적분학이 성공을 거둔 비결은 바로 복잡한 문제를 단순한 부분들로 쪼개는 데 있다.

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(2) 미적분학은 분할하여 정복하는 전략을 극단적으로, '무한에 이르기까지' 추구하는 데 있다. 큰 문제를 여러 작은 조각으로 쪼개는 대신에 쪼개고 또 쪼개는 과정을 끝없이 반복하여 문제를 가루처럼 아주 작은 부분들로 쪼개 그런 부분들이 무한히 많이 생긴다. 이 과정이 끝나면 작은 부분들을 대상으로 문제를 푸는데 그러면 처음의 큰 문제보다 풀기가 훨씬 수월하다. 이제 남은 문제는 이렇게 얻은 작은 답들을 다시 합치는 것이다.

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(3) 미적분은 분할과 재조립이라는 두 단계로 나뉘어 진행된다. 수학 용어를 사용한다면 분할 과정은 항상 미소한 뺄셈 과정을 무한히 많이 포함하는데 이것은 부분들 사이의 차를 계량화하는 데 쓰인다. 그래서 미적분학의 절반에 해당하는 이 과정을 '미분'이라고 부른다. 재조립 과정은 항상 덧셈 과정을 무한히 많이 포함하는데 부분들을 합쳐 원래의 전체로 만든다. 미적분학의 나머지 절반에 행당하는 이 과정을 '적분'이라고 한다.

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(4) 복잡하지만 연속적인 문제를 무한히 많은 단순한 조각들로 쪼개고 나서, 그것들을 개별적으로 푼 다음, 다시 모두 합쳐 전체로 만든다. 미적분의 원리는 '무한'이다.

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(5) 무한의 원리: 연속적인 형태나 물체, 운동, 과정, 현상에 대해 어떤 것을 알아내면 그것이 아무리 거칠고 복잡한 것이라 해도 무한히 연속적으로 이어진 더 단순한 부분들로 이루어져 있다고 상상하고서 부분들을 분석한 뒤 그 결과들을 합쳐 원래의 전체를 이해하라.

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(6) 미적분학은 구부런진 형태에 대해 기하학자가 느낀 호기심과 좌절에서 탄생했다.

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(7) 미적분학의 발전을 이끈 중요한 수수께기가 세 가지 있다. [1] 곡선의 수수께끼 [2] 운동의 수수께끼 [3] 변화의 수수께끼이다.

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(8) 곡선의 수수께끼를 풀기 위한 탐구 과정에서 곡선이 단순히 기하학적 오락거리에 불과한 것이 아님이 분명해지자 수학자들은 극도로 열광했다. 곡선은 자연의 비밀을 들어내는 열쇠였다. 곡선은 날아가는 공의 포물선 궤적, 태양 주위를 공전하는 화성의 타원 궤도, 빛을 구부리고 초점을 맺게 하는 렌즈의 볼록한 곡면 등에서 자연스럽게 나타났다.

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(9) 곡선 다음으로 크게 집착한 대상은 지구와 태양계에서 일어나는 운동의 수수께끼였다. 관찰과 독창적인 실험을 통해 과학자들은 가장 단순하게 움직이는 물체들의 감질나는 수의 패턴을 발견했다. 그들은 진자의 진동을 측정하고, 빗면을 굴러내려오는 공의 하강 속도를 재고, 행성들이 위풍당당하게 하늘을 가로질러가는 경도를 지도 위에 표시했다. 그리고 거기서 나타나는 패턴들에 심취했는데 그 패턴들은 신의 작업을 증언하는 것처럼 보였다.

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(10) 뉴턴은 우주의 암호를 해독했다. 모든 종류의 운동은 매 순간 미적분학의 언어로 써진 수학 법칙에 따라 움직이면서 늘 아주 작은 보폭으로 한 번에 한 걸음씩 내디딘다는 사실을 발견했다. 그는 그저 미분방정식 몇 개만으로 포탄의 포물선 궤적에서부터 행성의 궤도에 이르기까지 우주의 모든 것을 설명할 수 있었다. 뉴턴의 경이로운 '세계의 체계'는 천상의 세계와 지상의 세계를 통합했고 계몽 시대를 열었으며 서양 문화를 바꾸어 놓았다. 그리고 유럽의 철학자들과 시인들에게 막대한 영향을 미쳤다.

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(11) 곡선과 운동의 수수께끼를 해결하고 난뒤 미적분학은 변화의 수수께끼에 도전했다. ... 과학자들은 관찰과 실험을 사용해 변화의 법칙들을 알아냈고 그러고 나서 미적분을 사용해 그것을 풀어 변화를 예측할 수 있었다.

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