제목 그대로 미적분의 "쓸모"에 대해 알려주는 책입니다. 미적분, 미적분방정식이 SpaceX , 디즈니 애니매이션, 주가 예측 등에 어떻게 활용되었는지 설명하는 책입니다. 현업에 인공지능을 적용하는 노력을 하면서, 미적분에 대한 이해가 없으면 원리적인 이해를 할 수 없다는 것을 깨닫고 있습니다. 수학의 필요에 대해 알려주는 좋은 책입니다. "수학"과 "물리"를 틈틈히 공부하려고 합니다.
수학 공식을 배우기 전에 수학을 왜 배워야 하는지 알아야 하는데 교육 과정은 그렇지 않은것 같습니다. 수학 문제를 잘 풀고 수학 점수 잘 받는게 무슨 의미가 있을까요. 현실을 해석하고 적용하는 단계까지 이어지지 않는다면 별다른 의미가 없습니다. 어떤 것을 공부하더라도 실용적 측면에서, 아웃풋을 목표로 해야 합니다.
책에 있는 내용을 아래에 그대로 적었습니다.
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1. 수학의 눈으로 바라보면 세상의 변화가 한눈에 들어온다. 과학 저술가인 칼 세이건은 수학이란 우주 어디에나 통용될 수 있는 보편적인 언어라고 했다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 특히 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연 현상, 사회의 변화까지 선명하게 드러난다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 현상을 이해할 수 있다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다.
2. 인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 과학기술의 발전은 상상하기 어려웠을 것이다.
3. 과학적 성취는 모든 사건과 운동은 자연의 법칙에 따라 합리적으로 움직이며 과거와 현재 상태로부터 미래를 예측할 수 있다는 합리적이고 결정론적인 세계관을 갖도록 하는데 기여했다. 프랑스의 천문학자인 피에르 시몽 라플스는 "우주의 모든 입자의 위치와 속도를 안다면 우주의 미래를 예측할 수 있다" 라고 말하기도 했다.
4. 어떤 선택이 최적의 선택인지 수학 공식을 이용해 알아내는 것을 "최적화"라고 한다.
5. 인공지능이 점점 똑똑해지면서 잘못 알아듣는 실수가 줄어들고 있다. 최적화 알고리즘과 미분 덕분이다.
6. 인공지능 모델을 학습시킨다는 것은 결국 여러 시세 데이터를 이용하여 추세선에 있는 직선의 기울기와 그 기울기가 좌표측과 만나는 절편을 구하는 것이다.
7. 현실에서 만나는 건 매개변수가 여럿인 다변수 문제가 대다수다. 또한 추세선처럼 출력값과 입력값이 가산성과 비례성을 가지는 선형적 문제보다 비선형적인 문제가 흔하다.
8. 복잡한 다변수 문제를 최적화하기 위해서 인공신경망 모델이 개발되었다. 인공신경망이란 생물학적 신경망에서 영감을 얻은 통계학적 학습 알고리즘이다.
9. 신경계의 신경세포는 인공신경망에서 "노드"로 표현되며, 노드와 노드를 연결하는 전달하는 시냅스는 "전달함수"로 구현된다. "가중치"란 신경세포들 사이 신호의 연결 강도를 의미한다.
10. 결국 인공신경망을 학습시킨다는 의미는 전달함수의 가중치를 조정한다는 말이다.
11. 주어진 학습 데이터를 이용하여 인공신경망의 매개변수들을 결정하는 것을 지도학습이라고 한다. 반면에 정답을 가르쳐 주지 않는 것을 비지도학습이라고 한다.
12. 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다.
13. 은닉층의 개수가 늘어나고 노드의 개수도 늘어나면서 이들을 연결하는 시냅수의 개수, 즉 전달함수에 들어가는 매개변수의 개수가 기하급수적으로 늘어난다. 이러한 방식이 바로 딥러닝이다.
14. 딥러닝은 기계학습 중에서 다층의 복잡한 인공신경망 구조를 갖는 높은 수준의 기계학습이다.
15. 최근 들어 딥러닝이 급속하게 발전된 것은 다음 세 가지 문제가 해결되었기 대문이다. 고속 연산 작업이 가능한 하드웨어, 빅데이터의 축적, 그리고 손실함수를 최소화하는 최적화 알고리즘이다.
16. "확률적 경사하강법"은 인공지능 분야에서 널리 쓰이는 최적화 알고리즘이다.
17. 미분은 기하학적으로는 곡선에 접하는 기울기를 나타내고 대수학적으로는 변화율을 나타내는 데 비해, 적분은 나누어진 조각들을 모아서 합친 면적을 나타내고 합수값의 변화에 따른 누적량을 나타낸다.
18. 미분에서 "상태량"과 "변화량"을 구별하는 것처럼 적분에서는 "합쳐진 양"과 "합쳐진 결과량을"을 구별해야 한다.
19. 픽사의 성공 비결에는 장편 애니매이션을 제작할 비용을 투자해준 디즈니도 있었지만 스티브 잡스가 채용한 수학자와 전산 과학자들의 공이 컸다. <토이 스토리>는 100퍼센트 컴퓨터 그래픽으로 만든 세계 최초의 극장용 장편 애니매이션이다. 개봉 당시 사람들은 액션이나 인물에서 전혀 이질감을 주지 않는 이 새로운 영상에 열광했다. 모두 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 눈송이, 해일 같은 '움직이는' 자연 현상을 자연스럽게 구현해내기 위해 고안한 3D 애니매이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이다. 이 모든 제작 과정 뒤에는 미분방적식이 있다.
20. 미분방적식은 현재의 상태와 변화율의 관계를 연괏 짓는 방정식이다.
21. 미분방정식은 대학교에서 배우는데, 자연과학이나 공학은 물론이고 경제학이나 사회학에서 미분방정식을 매우 비중 있게 다룬다. 미분방정식은 과학법칙에 따라 자연현상을 시물레이션하고, 경제 모델을 만들어 경제 전망을 하는 등 현재를 이해하고 미래를 예측하기 위한 필수적인 수학 도구이기 때문이다.
22. 블랙쇼즈 방정식은 옵션의 가격 변화를 계산하기 위한 편미분방정식으로, 가격 변동성이 무작위적이며 아이슈타인 방적식에 나오는 기체 분자의 불규칙한 운동에 의한 변동과 유사하다는 점에서 착안하여 유도되었다.
23. 최근 3D 애니메이션은 역동적인 물의 움직임과 더불어 물안개, 해수면의 물살, 폭발과 함께 피어오르는 연기와 불길, 눈덩이가 뭉쳐지거나 부서지는 장면 등을 실감 나게 연출한다. 이를 표현하는 데에는 난류 모델에 추가해서 표면장력 모델, 다상유동 모델, 연소 모델, 폭발 모델, 심지어 빙결 모델까지 다양한 수학적 모델이 사용된다.
24. 배가 고플 때 피자 한 조각을 먹으면 그렇게 맛있을 수가 없다. 이때 한계효용은 최고치가 된다. 그러나 피자를 한 조각씩 더 먹을 때마다 한계효용은 점점 떨어진다. 하지만 한계효용이 감소하더라도 총 효용은 계속 증가한다. 즉 총 효용은 한계효용을 적분한 것이고 총 효용을 미분한 것이 한계효용이다. 처음에는 총 효용이 급격히 증가하다가 한계효용이 감소하면서 총 효율의 증가율은 둔화된다.
25. 불확실한 미래를 알고 싶어하는 것 그리고 자신에게 만족스러운 결과를 만들고 싶은 것은 인간의 원초적인 욕구다. 이러한 요구 위에 학문들이 탄생했다. 모든 학문은 미래를 예측하기 위한 것이라고 해도 과언이 아니다. 우리가 공부를 하는 이유도 자신의 분야에서 앞으로 일어날 일을 예측하고, 필요한 경우 전문가로서 남들보다 먼저 사회에 경종을 알리기 위함이다. 역사학자는 과거의 일을 바탕으로 미래의 변화를 예측하고, 경제학자는 경제 모델을 세워 국가적 경제 전망을 내놓는다. 과학자는 자연을 관찰하면서 지구의 환경 변화를 예고하고, 공학자는 미래사회가 요구하는 제품을 내놓는다. 그렇게 우리는 미래 예측이라는 욕망을 좇자 앞으로 나아가고 있다.
26. 미래를 예측하려면 변화의 방향을 읽어야 한다. 시간이 지남에 따라 어떤 양이 점점 증가하는 때가 있는가 하면 점점 감소하는 때가 있다. 또 증가하거나 감소하더라도 일정한 비율로 변화하는 경우가 있고, 시간에 따라 변화율이 계속 바뀌는 경우도 있다.
27. 변화의 정도가 달라지기 때문에 단순하게 직선으로 연장해서는 미래를 제대로 예측할 수 없다. 변화를 정확하게 예측하기 위해서는 기울기(일차도함수)에 추가해서 기울기의 변화율(이차도함수) 또는 그 이상의 고차도함수까지 포함해 계산해야 한다.
28. 자연현상이나 사회현상을 보면 서로 상반되는 두 가지 원리, 곧 도와주는 원리(가속화)와 방해하는 원리(안정화)가 동시에 작용하고 있음을 알고 있다. 어떤 사건이 변화를 부채질하여 더욱 심하게 만드는 경우가 있고, 반대로 그 변화를 억제시켜 다시 원상태로 되돌려놓으려는 경우가 있다.
29. 경제학에서 소득이나 지출과 같이 계속 흘러가는 양을 "유량" 또는 "플로"라 하며, 자산이나 부와 같이 축적되어 있는 양을 "저량" 또는 "스톡"이라 한다. 즉 저량은 일정 기간 유량을 누적한(적분한) 값이고, 유량은 저량의 변화율(미분한 값)이다.
30. 단기간의 주가 변동에 투자하는 것을 미분 투자라고 한다면, 장기간의 평균 주가에 투자하는 것은 적분 투자이다.
31. 투자의 귀재 워런 버핏은 미리 작성한 유서에 "유산의 10퍼센트는 국채 매입에, 나머지 90퍼센트는 S&P 지수에 투자하라"라고 했다. 수학적으로 보면 적분 투자 방식이다.
32. 주가 변동이 연속적이거나 미분 가능하지 않아도 적분은 주가 변동을 누적하면서 평준화하는 역할을 한다.
33. 최근에는 미적분이나 다른 현란한 수학 이론보다 인공지능을 이용해 주가를 예측하는 방법이 떠오르고 있다. 주가라는 것이 자연현상처럼 원리적으로 예측할 수 있는 것이 아니기 때문에 수년간 축적된 데이터에 기반하여 예측하는 것이 현실적이고 더 정확할 수 있다. 아직 정확도가 검증되지 않았지만 이미 시중에 많은 인공지능 프로그램이 나와있다.
34. 인공신경망 모델에서는 입력변수가 중요한데 단순히 주가나 거래량과 같은 기술적 지표들은 물론, 기업의 자산이나 수익과 같은 기본 지표들을 활용할 수 있다. 그뿐 아니라 종합주가지수, 환율, 인구변동, 주택가격 변화 등 국가적 경제지표들까지 입력변수로 활용한다. 더 나아가 정량화되지 않은 정보, 관련 기업의 공시 정보, 이슈 등까지 고려하여 판단할 수 있다. 입력변수를 어떻게 구성하느냐에 따라 인공지능의 수준이 달라진다.
35. 결과를 주가 예측치로 내놓을 수도 있지만, 기타 국내외 정보를 종합적으로 판단하여 투자 적격 여부를 결정하는 방식으로 구성할 수 도 있다. 주식투자에 대응하는 전략으로 매수대기, 매수지속, 매도대기, 매도지속, 시장관망 다섯 가지로 구분하여 추천하는 것이 보통이다. 이처럼 입력변수와 결과변수 그리고 인공신경망 구조에 따라서 다양한 주식 모델을 만들 수 있다.
36. 인공지능이 이제 주가 예측뿐 아니라 여러 분야에서 미분방정식을 대신하여 강력한 미래 예측의 도구로 자리잡고 있는 것은 분명하다. 복잡한 문제일수록 논리적으로 인관관계를 설명하기 어려워진다. 또 난해한 미적분방정식을 사람이 매번 직접 풀기도 어려우며, 풀더라도 현실에 잘 들어맞지 않은 경우가 종종 있다. 그런 의미에서 인공지능은 미래를 예측하는 강력한 방법으로 받아들여지고 있다. 미적분방정식을 토대로 탄생한 인공지능이 우리 눈앞에서 미적분을 사라지게 만들고 있는 셈이다.
37. 현대 경제학의 아버지로 불리는 폴 새뮤얼슨은 저서 "경제분석의 기초"에서 미적분과 미분방정식을 적극적으로 활용하여 경제문제를 해석했다.
38. 경제학과 미적분은 떼려야 뗄 수 없는 관계다. 경제를 제대로 이해하고자 한다면, 미적분을 놓치지 말아야 한다.
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